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长方形面积的公式从何而来?在引入微积分之前它是怎么推导出来的?
史前
许多古代文化都知道长方形的面积是由相邻两条边的长度相乘得出的。这可能和区域的概念一样古老。因为它可能在写作之前就已经知道了，我们永远不会知道这一知识的来源。
合理的发展
尽管如此，很容易拼凑出一个相信它的理由。这是一个三单位高，四单位宽的矩形。你可以数一数里面的正方形，你会发现它的面积是12个正方形单位。如果你有一个加法的概念，那么你可以不用计算就能求出面积。你可以把它想象成三条水平的正方形，每条都是面积4，所以总面积是4+4+4。或者你可以把它想象成四条垂直的正方形，每条都是面积3，所以总面积是3+3+3+3。
在一种情况下，它是三个4的和，在另一种情况下，它是四个3的和。
如果你需要找到几个矩形的面积，你很快就会学到乘法的概念(如果你还没有这个概念的话)和找到矩形面积的规则。
不可通约的情况下
当两边无法比较时，大多数古代文化都没有意识到这个问题。对于上面的矩形，两边有一个共同的度量，一条边是单位加单位加单位，而另一条边是单位加单位加单位加单位。这两边是可通约的。
有些矩形的边长不可通约。下图中有一个蓝色的正方形和一个红色的矩形。矩形的高等于正方形的一条边长，而矩形的宽等于正方形的对角线。
古希腊几何学家认识到这个矩形的边长是不可通约的。这意味着矩形不能被切成正方形。上一节中的参数不能用来得出这个矩形的面积是其长度和宽度的乘积的结论。在这种情况下乘法是什么意思。
欧多克索斯对此有个答案。他定义了两个不可约数之比的含义以及它们何时相等。(两个比率的相等称为比例。)这在欧几里得的《元素》第五册中有记载。第六卷的命题1证明了两个高度相同的矩形的面积与宽度成正比。因此，任何两个矩形的面积都与它们的边长之比的乘积成正比。特别地，如果其中一个矩形是单位正方形，那么另一个矩形的面积就是它的高和宽的乘积。
1.将圆沿半径切割成若干等份(越多越好)(成若干扇形)
2.将扇形平均分成两份,相互对应起来拼成一个近似长方形的图形.(越多越接近长方形)
3.长方形的面积=长乘宽,这个拼成的长方形的长是圆周长(2Pr)的一半,所以,长是Pr(圆周率的符号我不会打,用P表示),宽是圆的半径r,因此得到圆的面积的计算公式为S=Pr.r=Pr2(平方)
圆周长推导
找几个圆形的物体，分别量出它们的周长和直径，并计算出周长和直径的比值。通过试验和统计，我们可以知道，圆的周长总是直径的三倍多一些。那么，任何圆的周长和直径的比值都是一个固定的数（圆周率）。因为圆的周长总是直径的∏倍，当我们知道圆的直径或者半径时，就可以算出它的周长。即 c= ∏ d c=2 ∏ r.
圆面积的推导：
在硬纸板上画一个圆，把圆分成若干等分，剪开后用这些近似的等腰三角形的小纸片拼一拼，就可以拼成一个近似的平行四边形。如果分的分数越多，每一份会越细。拼成的图形就会越接近长方形。长方形的长等于圆周长的一半，即 r , 宽等于圆的半径 r ，因为长方形的面积 = 长×宽，所以园的面积 =r × r = r? 即 s= ∏ r?
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